$\frac{sin75°+sin15°}{sin75°-sin15°}=?$

এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমরা ত্রিকোণমিতিক যোগফল ও বিয়োগফলের সূত্রাবলী ব্যবহার করব।

প্রদত্ত রাশিটি হলো: \( \frac{\sin75^\circ + \sin15^\circ}{\sin75^\circ - \sin15^\circ} \)

আমরা জানি, যোগফল ও বিয়োগফলের সূত্রাবলী হলো:

    
• \( \sin C + \sin D = 2 \sin\left(\frac{C+D}{2}\right) \cos\left(\frac{C-D}{2}\right) \)
    
• \( \sin C - \sin D = 2 \cos\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right) \)

এখানে \( C = 75^\circ \) এবং \( D = 15^\circ \)।

লব (Numerator) এর জন্য:

\( \sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin\left(\frac{75^\circ+15^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{75^\circ-15^\circ}{2}\right) \)

\( = 2 \sin\left(\frac{90^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \)

\( = 2 \sin 45^\circ \cos 30^\circ \)

হর (Denominator) এর জন্য:

\( \sin 75^\circ - \sin 15^\circ = 2 \cos\left(\frac{75^\circ+15^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{75^\circ-15^\circ}{2}\right) \)

\( = 2 \cos\left(\frac{90^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \)

\( = 2 \cos 45^\circ \sin 30^\circ \)

এখন, লব ও হরের মান প্রদত্ত রাশিতে বসিয়ে পাই:

\( \frac{2 \sin 45^\circ \cos 30^\circ}{2 \cos 45^\circ \sin 30^\circ} \)

\( = \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} \times \frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} \)

আমরা জানি, \( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta \) এবং \( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta \)।

সুতরাং,

\( = \tan 45^\circ \times \cot 30^\circ \)

এখন, প্রমাণ মানগুলো বসিয়ে পাই:

\( \tan 45^\circ = 1 \)

\( \cot 30^\circ = \sqrt{3} \)

\( = 1 \times \sqrt{3} \)

\( = \sqrt{3} \)

সুতরাং, নির্ণেয় মান হলো \( \sqrt{3} \)।